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2016年宜宾市易迅彩票app下载数学下期末试卷带答案和解释

核心导读:2015-2016学年四川省宜宾市易迅彩票app下载(下)期末数学试卷   一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.若等差数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列(  ) A.是

2015-2016学年四川省宜宾市易迅彩票app下载(下)期末数学试卷
 
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.若等差数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列(  )
A.是公差为5的等差数列 B.是公差为3的等差数列
C.是公差为2的等差数列 D.是公差为7的等差数列
2.已知 =(3,1),向量 =(2,λ),若 ∥ ,则实数λ的值为(  )
A.﹣  B.  C.  D.﹣
3.若a,b是任意实数,且a>b,则(  )
A. >  B. <1 C.( )a<( )b D.lg(a﹣b)>0
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c= ,b= ,B=120°,则a等于(  )
A.  B.  C.2 D.
5.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为(  )
 
A.80 B.40 C.  D.
6.已知向量 =(x,2), =(1,y),其中x>0,y>0,若 • =1,则 + 的最小值为(  )
A.6 B.8 C.9 D.8
7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有(  )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
8.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=2,则原图形是(  )
 
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
9.{an}是各项均不为0的等差数列,{bn}是等比数列,若a1﹣a +a13=0,且b7=a7,则b3b11=(  )
A.16 B.8 C.4 D.2
10.△ABC中,a,b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a,b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为 ,那么b等于(  )
A.  B.  C.  D.
11.在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则 • =(  )
A.  B.  C.  D.
12.设正实数m,n,t满足m2﹣3mn+4n2﹣t=0,则当 取得最小值时,m+2n﹣t的最大值为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
 
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分
13.在等比数列{an}中,a3=2,a6= ,则数列{an}的公比为      .
14.若实数x,y满足不等式组 ,则目标函数z=x+y的最大值为      .
15.若O为△ABC所在平面内一点,且满足 ,则△ABC的形状为      .
16.已知数列{an},{bn},{cn},满足a1=8,b1=10,c1=6,且an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则bn=      .
 
三、解答题:本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知 , 是夹角为60°的单位向量,且 ,
(1)求 ;
(2)求 的夹角< >.
18.一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行(2 ﹣2)nmile到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求∠CAB的大小?
 
19.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且cosB= .
(Ⅰ)求 + 的值;
(Ⅱ)设 • = ,求a、c的值.
20.如图,在Rt△AOB中,∠OAB= ,斜边AB=4,Rt△AOC通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B﹣AO﹣C是直二面角.动点D在斜边AB上.
(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;
(Ⅲ)求CD与平面AOB所成角最大时该角的正切值.
 
21.已知定义在R上的函数f(x)=x2﹣(3﹣a)x+2(1﹣a)(其中a∈R).
(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)>0;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥x﹣3对任意x>2恒成立,求a的取值范围.
22.已知数列{an}满足条件an+1﹣an=2,a5=11,前n项和为Sn,数列{bn}前n项和为Tn,满足条件Tn=2bn﹣2.
(1)求an与bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Kn;
(3)令Cn= ,若不等式x2+2mx+1≥C1+C2+C3+…+Cn对任意x∈R和任意的正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
 
 

2015-2016学年四川省宜宾市易迅彩票app下载(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.若等差数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列(  )
A.是公差为5的等差数列 B.是公差为3的等差数列
C.是公差为2的等差数列 D.是公差为7的等差数列
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由题意an=2n+5,再化简当n≥2时an﹣an﹣1后,由等差数列的定义即可得答案.
【解答】解:因为an=2n+5,
所以当n≥2时,an﹣an﹣1=2n+5﹣[2(n﹣1)+5]=2,
所以数列{an}是以2为公差的等差数列,
故选C.
 
2.已知 =(3,1),向量 =(2,λ),若 ∥ ,则实数λ的值为(  )
A.﹣  B.  C.  D.﹣
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】根据平面向量共线的坐标表示,列出方程即可求出λ的值.
【解答】解:∵ =(3,1),向量 =(2,λ),且 ∥ ,
∴3λ﹣2×1=0,
解得λ= .
故选:B.
 
3.若a,b是任意实数,且a>b,则(  )
A. >  B. <1 C.( )a<( )b D.lg(a﹣b)>0
【考点】不等式的基本性质.
【分析】对于A,B,D举反例可以判断,对于C,根据指数函数的单调性即可判断.
【解答】解:若a,b均小于0,则A不成立,
若a<0,由a>b,则得到 >1,故B不正确,
根据指数函数的性质可知,y= 为减函数,故C正确,
当0<a﹣b<1时,D不成立,
故选:C.
 
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c= ,b= ,B=120°,则a等于(  )
A.  B.  C.2 D.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由b,c以及cosB的值,利用余弦定理即可求出a的值.
【解答】解:∵c= ,b= ,cosB=cos120°=﹣ ,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即6=a2+2+ a,
解得:a= .
故选A
 
5.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为(  )
 
A.80 B.40 C.  D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥:PO⊥平面ABC,PO=4,AO=2,CO=3,BC⊥AC,BC=4.据此可计算出该几何体的体积.
【解答】解:由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥:PO⊥平面ABC,PO=4,AO=2,CO=3,BC⊥AC,BC=4.
从图中可知,三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形,高为4,
体积为V= .
故选D.
 
 
6.已知向量 =(x,2), =(1,y),其中x>0,y>0,若 • =1,则 + 的最小值为(  )
A.6 B.8 C.9 D.8
【考点】基本不等式;平面向量数量积的运算.
【分析】由 • =1,可得x+2y=1,再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵向量 =(x,2), =(1,y),∴ • =x+2y=1,
∵x>0,y>0,
∴ + =( + )(x+2y)=5+ + ≥5+4=9,
当且仅当 = 时取等号,
∴ + 的最小值为9,
故选:C.
 
7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有(  )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1,利用正方体的结构特征,结合题设条件,能够作出正确判断.
【解答】解:如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,
则EF⊥AA1,所以①正确;
当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,
所以②不正确;
当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,
则EF∥AC,所以③不正确;
由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,
所以EF∥平面ABCD,所以④正确.
故选D.
 
 
8.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=2,则原图形是(  )
 
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
【考点】平面图形的直观图.
【分析】根据斜二测画法的原则:平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半可判断原图形的形状.
【解答】解:∵矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,
又∠D′O′C′=45°,∴O′D′= ,
在直观图中OA∥BC,OC∥AB,高为OD=4 ,CD=2,
∴OC= =6.
∴原图形是菱形.
故选C.
 
9.{an}是各项均不为0的等差数列,{bn}是等比数列,若a1﹣a +a13=0,且b7=a7,则b3b11=(  )
A.16 B.8 C.4 D.2
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列的通项公式得到 ,从而b7=a7=2,由此利用等比数列通项公式能求出b3b11.
【解答】解:∵{an}是各项均不为0的等差数列,a1﹣a +a13=0,
∴ ,
∵a7≠0,
∴b7=a7=2,
∵{bn}是等比数列,
∴b3b11= =22=4.
故选:C.
 
10.△ABC中,a,b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a,b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为 ,那么b等于(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】解三角形.
【分析】先根据等差中项的性质可求得2b=a+c,两边平方求得a,b和c的关系式,利用三角形面积公式求得ac的值,进而把a,b和c的关系式代入余弦定理求得b的值.
【解答】解:∵a,b、c成等差数列,∴2b=a+c,得a2+c2=4b2﹣2ac,
又∵△ABC的面积为 ,∠B=30°,
故由 ,
得ac=6.
∴a2+c2=4b2﹣12.
由余弦定理,得 ,
解得 .
又b为边长,∴ .
故选B
 
11.在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则 • =(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可得 ,且 = = +  ,代入要求的式子运算求得结果.
【解答】解:在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,
则△ABD是等边三角形, ,且 = = +  .
∴ =( )•( )= +  +  =1+ ×1×1cos60°+ = ,
故选D.
 
12.设正实数m,n,t满足m2﹣3mn+4n2﹣t=0,则当 取得最小值时,m+2n﹣t的最大值为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】基本不等式.
【分析】求得t=m2﹣3mn+4n2,(m,n,t>0),代入 ,整理后运用基本不等式,可得m=2n,取得最小值,此时t=mn=2n2,代入m+2n﹣t,运用二次函数的最值求法,可得最大值.
【解答】解:m2﹣3mn+4n2﹣t=0,可得
t=m2﹣3mn+4n2,(m,n,t>0),
即有 =
= + ﹣3≥2 ﹣3=1,
当且仅当m=2n时,取得最小值1.
此时t=mn=2n2,
则m+2n﹣t=4n﹣2n2=﹣2(n﹣1)2+2,
当n=1时,m+2n﹣t取得最大值2.
故选:B.
 
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分
13.在等比数列{an}中,a3=2,a6= ,则数列{an}的公比为   .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用等比数列的性质求解.
【解答】解:∵在等比数列{an}中,a3=2,a6= ,
∴q3= = = ,
∴q= .
故答案为: .
 
14.若实数x,y满足不等式组 ,则目标函数z=x+y的最大值为 3 .
【考点】简单线性规划.
【分析】由题意画出平面区域,根据线性规划解答.
【解答】解:作出平面区域如图:
 
则当过A(3,0)时,目标函数z=x+y有最大值3.
故答案为:3.
 
15.若O为△ABC所在平面内一点,且满足 ,则△ABC的形状为 等腰三角形 .
【考点】三角形的形状判断.
【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量 用三角形的各边对应的向量表示,得到边的关系,得出三角形的形状.
【解答】解:∵
=
=
= =0,
∴ ,
∴△ABC为等腰三角形.
故答案为:等腰三角形
 
16.已知数列{an},{bn},{cn},满足a1=8,b1=10,c1=6,且an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则bn= 2×(﹣ )n﹣1+8 .
【考点】数列递推式.
【分析】由条件可知an=8,bn+1= +4,cn+1= +4,两式相减求得cn+1﹣bn+1=﹣ (cn﹣bn),c1﹣b1=﹣4,{cn﹣bn}是以﹣4为首项,以﹣ 为公比的等比数列,求得通项公式;两式相加,利用数学归纳法证明:cn+bn=16,将cn=16﹣bn代入通项公式,即可求得bn.
【解答】解:由a1=8,an+1=an=8,
bn+1= = +4,
cn+1= = +4,
∴cn+1﹣bn+1=﹣ (cn﹣bn),
c1﹣b1=6﹣10=﹣4,
∴{cn﹣bn}是以﹣4为首项,以﹣ 为公比的等比数列,
cn﹣bn=(﹣4)×(﹣ )n﹣1,
cn+1+bn+1= (cn+bn)+8,
∵c1+b1=16,
∴c2+b2=16,
c3+b3=16,
猜想:cn+bn=16,
用数学归纳法证明:
①当n=1时,c1+b1=16,结论成立,
②假设当n=k时结论成立,即ck+bk=16,
那么当n=k+1时,ck+1+bk+1= (ck+bk)+8=16,即当n=k+1时结论也成立,
由①②得:当n=N*时,cn+bn=16恒成立,
将cn=16﹣bn代入cn﹣bn=(﹣4)×(﹣ )n﹣1,
解得:bn=2×(﹣ )n﹣1+8,
故答案为:bn=2×(﹣ )n﹣1+8.
 
三、解答题:本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知 , 是夹角为60°的单位向量,且 ,
(1)求 ;
(2)求 的夹角< >.
【考点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的性质及其运算律;数量积表示两个向量的夹角.
【分析】(1)按照向量数量积的定义和运算法则求解即可.
(2)利用向量数量积公式变形,求出 的夹角余弦值,再求出夹角.
【解答】解:(1)求 = = =﹣6+1×1×cos60°+2=﹣ .
(2) = = =
同样地求得 = .所以cos< >= = = ,
又0<< ><π,所以< >= .
 
18.一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行(2 ﹣2)nmile到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求∠CAB的大小?
 
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】由题意,结合图形知,在△ABC中,∠ABC=120°,AB=2 ﹣2,BC=4,故可由余弦定理求出边AC的长度,由于此时在△ABC中,∠ABC=120°,三边长度已知,故可由正弦定理建立方程,求出∠CAB的正弦值,即可得出结论.
【解答】解:由题意,在△ABC中,∠ABC=180°﹣75°+15°=120°,AB=2 ﹣2,BC=4,
根据余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cos∠ABC=(2 ﹣2)2+42+(2 ﹣2)×4=24,
所以AC=2 .
根据正弦定理得,sin∠BAC= = ,∴∠CAB=45°.
 
19.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且cosB= .
(Ⅰ)求 + 的值;
(Ⅱ)设 • = ,求a、c的值.
【考点】平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用.
【分析】(Ⅰ)由cosB= ,B∈(0,π).可得 .由a、b、c成等比数列,可得b2=ac,再利用正弦定理可得sinAsinC=sin2B.于是可得 + = = = ;
(Ⅱ)设 • = ,则 ,可得ac=2.再利用余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB化简整理,联立即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)由cosB= ,B∈(0,π).
∴ = .
∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac,
由正弦定理可得sinAsinC=sin2B.
∴ + = = = = = ;
(Ⅱ)设 • = ,则 ,∴ ,化为ac=2.
由余弦定理可得:2=ac=b2=a2+c2﹣2accosB= ,化为a2+c2=5.
联立 ,解得 或 .
即a=2,c=1,或a=1,c=2.
 
20.如图,在Rt△AOB中,∠OAB= ,斜边AB=4,Rt△AOC通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B﹣AO﹣C是直二面角.动点D在斜边AB上.
(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;
(Ⅲ)求CD与平面AOB所成角最大时该角的正切值.
 
【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)欲证平面COD⊥平面AOB,先证直线与平面垂直,由题意可得:CO⊥AO,BO⊥AO,CO⊥BO,所以CO⊥平面AOB,进一步易得平面COD⊥平面AOB
(Ⅱ)求异面直线所成的角,需要将两条异面直线平移交于一点,由D为AB的中点,故平移时很容易应联想到中位线,作DE⊥OB,垂足为E,连接CE,则DE∥AO,所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角
(Ⅲ)由第(Ⅰ)问可知:CO⊥平面AOB,所以∠CDO是CD与平面AOB所成的角,tan∠CDO= = ,当OD最小时,tan∠CDO最大
【解答】(I)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角,
又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,
∴CO⊥平面AOB,
又CO⊂平面COD,
∴平面COD⊥平面AOB.
(II)解:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在 Rt△COE中,CO=BO=2,OE= BO=1,
∴CE= .
又DE= AO= .
∴CD= =2
∴在Rt△CDE中,cos∠CDE= = =
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为 .
(III)由(I)知,CO⊥平面AOB,
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角
且tanCDO= = .
当OD最小时,∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,
OD= = ,tanCDO= ,
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为 .
 
 
21.已知定义在R上的函数f(x)=x2﹣(3﹣a)x+2(1﹣a)(其中a∈R).
(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)>0;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥x﹣3对任意x>2恒成立,求a的取值范围.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;二次函数的性质.
【分析】(I)比较函数两零点的大小,利用分类讨论思想解不等式问题即可;
(II)利用基本不等式求出函数的最大值,从而求出a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=(x﹣2)[x﹣(1﹣a)],
∴f(x)>0⇔(x﹣2)[x﹣(1﹣a)]>0,
当a<﹣1时,不等式的解集为(﹣∞,2)∪(1﹣a,+∞);
当a=﹣1时,不等式的解集为(﹣∞,2)∪(2,+∞);
当a>﹣1时,不等式的解集为(﹣∞,1﹣a)∪(2,+∞).
(Ⅱ)不等式f(x)≥x﹣3,即 恒成立,
又当x>2时,  = (当且仅当x=3时取“=”号),
∴a≥﹣2.
 
22.已知数列{an}满足条件an+1﹣an=2,a5=11,前n项和为Sn,数列{bn}前n项和为Tn,满足条件Tn=2bn﹣2.
(1)求an与bn;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Kn;
(3)令Cn= ,若不等式x2+2mx+1≥C1+C2+C3+…+Cn对任意x∈R和任意的正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)运用等差数列的通项公式,数列的通项和前n项和的关系,化简整理,即可得到所求通项;
(2)运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理,即可得到所求和;
(3)运用等差数列的求和公式可得Cn= = ( ﹣ ),运用裂项相消求和,可得C1+C2+C3+…+Cn,求得范围,结合二次不等式恒成立等价为判别式小于等于0,即可得到所求范围.
【解答】解:(1)由an+1﹣an=2,a5=11可得数列{an}为等差数列,公差为d=2,
a1+4d=11,可得a1=3,
即有an=a1+(n﹣1)d=3+2(n﹣1)=2n+1;
当n=1,b1=2,
当n≥2时,bn=Tn﹣Tn﹣1=2bn﹣2bn﹣1,
即bn=2bn﹣1(n≥2),由于b1=2≠0,则bn≠0,
故{bn}是公比为2的等比数列,首项b1=2,
则bn=2n;
(2)数列{an•bn}的前n项和Kn=3•2+5•4+…+(2n+1)•2n,
2Kn=3•4+5•8+…+(2n+1)•2n+1,
两式相减可得﹣Kn=6+2(4+8+…+2n)﹣(2n+1)•2n+1
=6+2• ﹣(2n+1)•2n+1,
化简可得Kn=(2n﹣1)•2n+1+2;
(3)Cn= = = = ( ﹣ ),
C1+C2+C3+…+Cn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ )
= (1+ ﹣﹣ ﹣ )= ﹣ ( + )< ,
由不等式x2+2mx+1≥C1+C2+C3+…+Cn对任意x∈R和任意的正整数n恒成立,
可得x2+2mx+1≥ ,即有x2+2mx+ ≥0,
可得△=4m2﹣1≤0,即有﹣ ≤m≤ .
可得m的取值范围是[﹣ , ].
 

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