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2016年西宁市97资源总站(中文字幕)数学下期末试卷有答案和解释

核心导读:2015-2016学年青海省西宁市97资源总站(中文字幕)(下)期末数学试卷   一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,每小题给出四个选项中,只有一个选项符合要求,请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内) 1.如果a<b<0,那么下

2015-2016学年青海省西宁市97资源总站(中文字幕)(下)期末数学试卷
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,每小题给出四个选项中,只有一个选项符合要求,请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内)
1.如果a<b<0,那么下面一定成立的是(  )
A.a﹣b>0 B.ac<bc C.  D.a2>b2
2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是(  )
A.恰有1名男生与恰有2名女生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生
D.至少有1名男生与全是女生
3.在△ABC中,A=60°,B=45°,a=1,则最短边的边长等于(  )
A.  B.  C.  D.
4.某校97资源总站(中文字幕)、高二年级各有7个班参加歌咏比赛,他们的得分的茎叶图如图所示,对这组数据分析正确的是(  )
 
A.97资源总站(中文字幕)的中位数大,高二的平均数大
B.97资源总站(中文字幕)的平均数大,高二的中位数大
C.97资源总站(中文字幕)的中位数、平均数都大
D.高二的中位数、平均数都大
5.已知数列{an},其通项公式an=3n﹣18,则其前n项和Sn取最小值时n的值为(  )
A.4 B.5或6 C.6 D.5
6.一个总体中有60个个体,随机编号为0,1,2,…59,依编号顺序平均分成6个小组,组号依次为1,2,3,…6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本,若在第1组随机抽取的号码为3,则在第5组中抽取的号码是(  )
A.33 B.43 C.53 D.54
7.已知△ABC的三内角A,B,C成等差数列,且AB=1,BC=4,则该三角形面积为(  )
A.  B.2 C.2  D.4
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数学九章》中提出多项式求值的秦九韶算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,依次输入a为2,2,5,则输出的s=(  )
 
A.7 B.12 C.17 D.34
9.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(  )
A.0.852 B.0.8192 C.0.75 D.0.8
10.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表
广 告 费 用x (万元) 4 2 3 5
销 售 额y (万元) 49 26 a 54
已知由表中4组数据求得回归直线方程 =8x+14,则表中的a的值为(  )
A.37 B.38 C.39 D.40
11.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(  )
A.90° B.120° C.135° D.150°
12.设a>0,b>0,若 是5a与5b的等比中项,则 + 的最小值为(  )
A.8 B.4 C.1 D.
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,请把答案填写在题中的横线上)
13.数列{an}中,a1=4,an+1=an+5,那么这个数列的通项公式是      .
14.如图,一不规则区域内,有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为      平方米.(用分数作答)
 
15.已知0<x<8,则(8﹣x)x的最大值是      .
16.某船在海面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6海里.船由A向正北方向航行8海里达到C处,这时灯塔B与船之间的距离为      .
 
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.如图,在△ABC中,AB=12, , ,点D在边BC上,且∠ADC=60°.
(Ⅰ)求cosC;
(Ⅱ)求线段AD的长.
 
18.某小型餐馆一天中要购买A,B两种蔬菜,A,B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元.根据需要,A蔬菜至少要买6公斤,B蔬菜至少要买4公斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元.
(1)写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组;并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域(用阴影表示),
(2)如果这两种蔬菜加工后全部卖出,A,B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?
 
19.一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和篮球,其中有有2个红球,3个白球,n个篮球.
(Ⅰ)若从中任取一个小球为红球的概率为 ,求n的值;
(Ⅱ)若从中任取一个小球为白球或篮球的概率为 ,求从中任取一个小球不是篮球的概率.
20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=6,S3=12.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:S1,S3,S8成等比数列.
21.某班50名学生在一次数学测试中,成绩全介于50与100之间,测试结果的频率分布表如表:
     分组(分数段)     频数(人数)   频率
[50,60) a     0.04
[60,70) 9     0.18
[70,80) 20     0.40
[80,90) 16           0.32
[90,100] b    c
合计 50          1.00
(Ⅰ)请根据频率分布表写出a,b,c的值,并完成频率分布直方图;
 
(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)或[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m,n,求事件“|m﹣n|>10”的概率.
22.不等式(m2﹣2m﹣3)x2﹣(m﹣3)x﹣1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
 
 

2015-2016学年青海省西宁市97资源总站(中文字幕)(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,每小题给出四个选项中,只有一个选项符合要求,请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内)
1.如果a<b<0,那么下面一定成立的是(  )
A.a﹣b>0 B.ac<bc C.  D.a2>b2
【考点】不等式比较大小.
【分析】利用不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵a<b<0,
∴﹣a>﹣b>0,
∴a2>b2.
故选:D.
 
2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是(  )
A.恰有1名男生与恰有2名女生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生
D.至少有1名男生与全是女生
【考点】互斥事件与对立事件.
【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件,对立事件首先是互斥事件,再就是两个事件的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案.
【解答】解:A中的两个事件符合要求,它们是互斥且不对立的两个事件;
B中的两个事件之间是包含关系,故不符合要求;
C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;
D中的两个事件是对立的,故不符合要求.
故选A
 
3.在△ABC中,A=60°,B=45°,a=1,则最短边的边长等于(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】正弦定理.
【分析】由三角形内角和公式可得 C=75°,再根据大角对大边可得b为最小边,再根据正弦定理求得b的值.
【解答】解:△ABC中,由三角形内角和公式可得C=75°,
再根据大角对大边可得b为最小边.
再根据正弦定理可得 = ,即b= •sin45°= = ,
故选:B.
 
4.某校97资源总站(中文字幕)、高二年级各有7个班参加歌咏比赛,他们的得分的茎叶图如图所示,对这组数据分析正确的是(  )
 
A.97资源总站(中文字幕)的中位数大,高二的平均数大
B.97资源总站(中文字幕)的平均数大,高二的中位数大
C.97资源总站(中文字幕)的中位数、平均数都大
D.高二的中位数、平均数都大
【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数.
【分析】根据给出的两组数据,把数据按照从小到大排列,根据共有7个数字,写出中位数,观察两组数据的集中区域,得到结果.
【解答】解:由题意知,
∵97资源总站(中文字幕)的得分按照从小到大排列是
82,83,85,93,97,98,99共有7 个数字,最中间一个是93,
高二得分按照从小到大的顺序排列是
88,88,89,89,97,98,99共有7个数据,最中间一个是89,
∴97资源总站(中文字幕)的中位数大,
再观察数据的集中区域,高二的更大些,故高二的平均数大.
故选A.
 
5.已知数列{an},其通项公式an=3n﹣18,则其前n项和Sn取最小值时n的值为(  )
A.4 B.5或6 C.6 D.5
【考点】数列的函数特性.
【分析】由an=3n﹣18≤0,解得n.即可得出.
【解答】解:由an=3n﹣18≤0,解得n≤6.
∴其前n项和Sn取最小值时n的值为5,或6.
故选:B.
 
6.一个总体中有60个个体,随机编号为0,1,2,…59,依编号顺序平均分成6个小组,组号依次为1,2,3,…6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本,若在第1组随机抽取的号码为3,则在第5组中抽取的号码是(  )
A.33 B.43 C.53 D.54
【考点】频率分布直方图.
【分析】由总体容量及组数求出间隔号,然后用3加上40即可.
【解答】解:总体为60个个体,依编号顺序平均分成6个小组,则间隔号为 =10,
所以在第5组中抽取的号码为3+10×4=43.
故选:B.
 
7.已知△ABC的三内角A,B,C成等差数列,且AB=1,BC=4,则该三角形面积为(  )
A.  B.2 C.2  D.4
【考点】三角形的面积公式.
【分析】由A,B,C成等差数列A+B+C=π可求B,利用三角形的面积公式S= bcsinA可求.
【解答】解:∵△ABC三内角A,B,C成等差数列,∴B=60°又AB=1,BC=4,
∴ ;
故选A.
 
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数学九章》中提出多项式求值的秦九韶算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,依次输入a为2,2,5,则输出的s=(  )
 
A.7 B.12 C.17 D.34
【考点】程序框图.
【分析】由题意,模拟程序的运行过程,依次写出每次循环得到的s,k的值,即可得出跳出循环时输出s的值.
【解答】解:初始值k=0,s=0,程序运行过程如下:
a=2,s=2×0+2=2,k=1,不满足k>2,执行循环;
a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>2,执行循环;
a=5,s=2×6+5=17,k=3,满足k>2,退出循环;
输出s=17.
故选:C.
 
9.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(  )
A.0.852 B.0.8192 C.0.75 D.0.8
【考点】模拟方法估计概率.
【分析】由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组,可以通过列举得到共多少组随机数,根据概率公式,得到结果.
【解答】解:由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,共15组随机数,
∴所求概率为0.75.
故选:C.
 
10.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表
广 告 费 用x (万元) 4 2 3 5
销 售 额y (万元) 49 26 a 54
已知由表中4组数据求得回归直线方程 =8x+14,则表中的a的值为(  )
A.37 B.38 C.39 D.40
【考点】线性回归方程.
【分析】求出数据中心( , ),代入回归方程解出a.
【解答】解:  = =3.5,  = = .
∴ =8×3.5+14,解得a=39.
故选:C.
 
11.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(  )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【考点】余弦定理.
【分析】设长为7的边所对的角为θ,根据余弦定理可得cosθ的值,进而可得θ的大小,则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ,即可得答案.
【解答】解:根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别为8与5,
设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180°﹣θ,
有余弦定理可得,cosθ= = ,
易得θ=60°,
则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°,
故选B.
 
12.设a>0,b>0,若 是5a与5b的等比中项,则 + 的最小值为(  )
A.8 B.4 C.1 D.
【考点】等比数列的性质.
【分析】根据等比数列的性质,建立方程关系,利用1的代换,结合基本不等式进行求解即可.
【解答】解:∵ 是5a与5b的等比中项,
∴5a•5b=( )2=5,
即5a+b=5,
则a+b=1,
则 + =( + )(a+b)=1+1+ + ≥2+2 =2+2=4,
当且仅当 = ,即a=b= 时,取等号,
即 + 的最小值为4,
故选:B
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,请把答案填写在题中的横线上)
13.数列{an}中,a1=4,an+1=an+5,那么这个数列的通项公式是 an=5n﹣1 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列的定义及其通项公式即可得出.
【解答】解:∵数列{an}中,a1=4,an+1=an+5,即an+1﹣an=5,
∴数列{an}是等差数列,公差为5.
∴an=4+5(n﹣1)=5n﹣1.
故答案为:an=5n﹣1.
 
14.如图,一不规则区域内,有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为   平方米.(用分数作答)
 
【考点】模拟方法估计概率.
【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积,利用面积比可得结论.
【解答】解:∵向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,
记“黄豆落在正方形区域内”为事件A,
∴P(A)= = ,
∴S不规则图形= 平方米,
故答案为: .
 
15.已知0<x<8,则(8﹣x)x的最大值是 16 .
【考点】基本不等式.
【分析】利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵0<x<8,
则x(8﹣x)≤( )2=16,当且仅当x=4时取等号,
∴则(8﹣x)x的最大值是16,
故答案为:16
 
16.某船在海面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6海里.船由A向正北方向航行8海里达到C处,这时灯塔B与船之间的距离为 2  .
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】由题意画出示意图,利用余弦定理解三角形.
【解答】解:由题意,示意图为:已知AB=6,AC=8,∠A=60°,
由余弦定理得到BC2=AC2+AB2+2AC×ABcosA=36+64﹣2×6×8× =52,
所以BC= .
所以灯塔B与船之间的距离为:2 海里;
故答案为:2 .
 
 
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.如图,在△ABC中,AB=12, , ,点D在边BC上,且∠ADC=60°.
(Ⅰ)求cosC;
(Ⅱ)求线段AD的长.
 
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由已知根据余弦定理可得 代入计算即可得解.
(Ⅱ)由0<C<π,可得sinC>0,从而可求sinC的值,利用正弦定理即可求得AD的值.
【解答】(本小题共13分)
解:(Ⅰ)∵AB=12, , ,
∴根据余弦定理:  = .…
(Ⅱ)∵0<C<π,
∴sinC>0, .
∴根据正弦定理得: ,即:  =8.…
 
18.某小型餐馆一天中要购买A,B两种蔬菜,A,B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元.根据需要,A蔬菜至少要买6公斤,B蔬菜至少要买4公斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元.
(1)写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组;并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域(用阴影表示),
(2)如果这两种蔬菜加工后全部卖出,A,B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?
 
【考点】简单线性规划的应用.
【分析】(1)利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域
(2)利用线性规划的内容进行图象平移,然后确定目标函数是最值.
【解答】解:(1)依题意,A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下: …
画出的平面区域如图.…
(2)设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元,则目标函数为z=2x+y…
∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距.
联立 解得 即B(24,4)…
∴当直线过点B(24,4)时,在y轴上的截距最大,
即zmax=2×24+4=52…
答:餐馆应购买A蔬菜24公斤,B蔬菜4公斤,加工后利润最大为52元.…
 
 
19.一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和篮球,其中有有2个红球,3个白球,n个篮球.
(Ⅰ)若从中任取一个小球为红球的概率为 ,求n的值;
(Ⅱ)若从中任取一个小球为白球或篮球的概率为 ,求从中任取一个小球不是篮球的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(Ⅰ)设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为A,B,C,由P(A)= ,得 = ,由此能求出n.
(Ⅱ)由P(B+C)= ,得P(A)=1﹣P(B+C)= ,从而得到n=1,由此能求出从中任取一个小球不是篮球的概率.
【解答】解:(Ⅰ)设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为A,B,C,
它们是互斥事件,
由已知得P(A)= ,∴ = ,
解得n=3.
(Ⅱ)∵P(B+C)= ,
由对立事件的概率计算公式知P(A)=1﹣P(B+C)=1﹣ = ,
∴ = ,解得n=1,
∴P(C)= ,
∴从中任取一个小球不是篮球的概率P( )=1﹣ = .
 
20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=6,S3=12.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:S1,S3,S8成等比数列.
【考点】等差关系的确定;等差数列的通项公式.
【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d,由a3=6,S3=12.可得 ,解出即可得出.
(II)利用等差数列的求和公式分别计算: ,S1•S8.即可证明.
【解答】(I)解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3=6,S3=12.
∴ ,解得a1=2,d=2.∴an=2+2(n﹣1)=2n.
(II)证明:∵S1=2,S3= =12,S8= =72,
∴ =122=144,S1•S8=2×72=144.∴ =S1•S8.
即S1,S3,S8成等比数列.
 
21.某班50名学生在一次数学测试中,成绩全介于50与100之间,测试结果的频率分布表如表:
     分组(分数段)     频数(人数)   频率
[50,60) a     0.04
[60,70) 9     0.18
[70,80) 20     0.40
[80,90) 16           0.32
[90,100] b    c
合计 50          1.00
(Ⅰ)请根据频率分布表写出a,b,c的值,并完成频率分布直方图;
 
(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)或[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m,n,求事件“|m﹣n|>10”的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)由频率分布表的性质能求出a,b,c.从而能用出频率分布直方图.
(Ⅱ)由题意知事件“|m﹣n|>10”为抽取两名同学的测试成绩分别在[50,60)和[90,100)内,成绩在[50,60)内的人数为2人,成绩在[90,100)的人数为3人,由此能求出事件“|m﹣n|>10”的概.
【解答】解:(Ⅰ)由频率分布表得a=50×0.04=2,
b=50﹣2﹣9﹣20﹣16=3,
c= =0.06.
作出频率分布直方图:
 
(Ⅱ)由题意知事件“|m﹣n|>10”为抽取两名同学的测试成绩分别在[50,60)和[90,100)内,
由(Ⅰ)知成绩在[50,60)内的人数为2人,成绩在[90,100)的人数为3人,
从测试成绩在[50,60)或[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,
基本事件总数n= ,
事件“|m﹣n|>10”包含的基本事件个数m= =6,
∴事件“|m﹣n|>10”的概率p= .
 
22.不等式(m2﹣2m﹣3)x2﹣(m﹣3)x﹣1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【分析】要分别考虑二次项系数为0和不为0两种情况,当二次项系数为0时,只要验证是否对一切x∈R成立即可;当二次项系数不为0时,主要用二次函数开口方向和判别式求出m的取值范围.
最后两种情况下求并集即可.
【解答】解:若m2﹣2m﹣3=0,则m=﹣1或m=3.…
若m=﹣1,不等式(m2﹣2m﹣3)x2﹣(m﹣3)x﹣1<0为4x﹣1<o不合题意;…
若m=3,不等式(m2﹣2m﹣3)x2﹣(m﹣3)x﹣1<0为﹣1<0对一切x∈R恒成立,所以m=3可取.…
设f(x)=(m2﹣2m﹣3)x2﹣(m﹣3)x﹣1,
当 m2﹣2m﹣3<0且△=[﹣(m﹣3)]2+4(m2﹣2m﹣3)<0,解得: .…
即 时不等式(m2﹣2m﹣3)x2﹣(m﹣3)x﹣1<0对一切x∈R恒成立,
故 .…
 

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